Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD＝2AB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線(xiàn)段AB上，連接EF，CF，則下列結(jié)論中一定成立的是____．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上)

①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】試題解析：①∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項(xiàng)正確；

延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點(diǎn)，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵M(jìn)C＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF錯(cuò)誤；

④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確．