Question

在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于E，交AD于F．
①求證：∠B=∠EAC；  
②若設(shè)CE=a，DE=b，BE=c，你能根據(jù)這些條件判斷關(guān)于x的一元二次方程ax²-2bx+c=0的根的情況嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由EF是AD的垂直平分線，可得AE=DE，則可得∠EAF=∠EDF，又由三角形外角的性質(zhì)，可得：∠EAF=∠CAD+∠EAC，∠EDF=∠B+∠BAD，然后由AD是∠BAC的平分線，即可證得：∠B=∠EAC；
（2）首先證得△ABE∽△CAE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得b²=ac，則可得一元二次方程ax²-2bx+c=0的判別式△=0，則可判定一元二次方程ax²-2bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根．
解答：①證明：∵EF是AD的垂直平分線，
∴AE=DE，
∴∠EAF=∠EDF，
∵∠EAF=∠CAD+∠EAC，∠EDF=∠B+∠BAD，
又∵AD是∠BAC的平分線，
即∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠EAC；

②能．理由：
∵∠B=∠EAC，∠AEB=∠CEA，
∴△ABE∽△CAE，
∴BE：AE=AE：CE，
∴AE²=BE•CE，
∵AE=DE，CE=a，DE=b，BE=c，
∴b²=ac，
∴一元二次方程ax²-2bx+c=0中，△=（-2b）²-4ac=4b²-4ac=0，
∴原方程有兩個相等的實數(shù)根．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．