Question

已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值=　 　．

Answer 1

5

如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)Q與點(diǎn)M關(guān)于直線BD對(duì)稱，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，證出MP+NP=QN=BC；如圖2，連接AC，設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，求出CO、BO，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，即可得出答案．
解：如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)Q與點(diǎn)M關(guān)于直線BD對(duì)稱，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最�。�

∵N為CD中點(diǎn)，Q為AB中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CN，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
如圖，連接AC，設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC=AC=3，OB=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即圖1中QN=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5．