Question

如圖，△ABC中，，延長(zhǎng)BA至D，使，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AC的中點(diǎn).

（1）判斷四邊形DBEF的形狀并證明；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC交DF于G，求證：AG=DG．

Answer 1

(1)四邊形 DBEF為等腰梯形，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）根據(jù)題意可知四邊形DBEF是四邊形；再證明BE=DE，即可判定四邊形DBEF的形狀；
（2）由四邊形DBEF是等腰梯形知∠B=∠D，而AG∥BC，所以∠D=∠DAG，即可得AG=DG.
試題解析：（1）四邊形 DBEF為等腰梯形，證明如下：

如圖，過(guò) F 作FH∥BC，交AB于H，
∵FH∥BC，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴AH=BH=AB，EF∥AB.
顯然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD
∴四邊形DBEF為梯形
∵AD=AB
∴AD=AH
∵CA⊥AB
∴CA是DH的中垂線.
∴DF=FH
∵FH∥BC,EF∥AB
∴四邊形HFEB是平等四邊形.
∴FH=BE
∴BE=FD
故四邊形 DBEF為等腰梯形
（2）∵四邊形DBEF是等腰梯形
∴∠B=∠D
∵AG∥BC，∠B=∠DAG
∴∠D=∠DAG
∴AG=DG
考點(diǎn): 等腰梯形的判定與性質(zhì).