Question

已知二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象與x軸分別交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且＜x₁＜．
（1）求k的取值范圍；
（2）設二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象與y軸交于點M，若OM=OB，求二次函數(shù)的表達式；
（3）在（2）的條件下，若點N是x軸上的一點，以N、A、M為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的第四個頂點F在二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象上，請直接寫出滿足上述條件的平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，即可得到關(guān)于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+4k=0，通過解方程可以求得x=2k或x=2，則由題意得到關(guān)于k的不等式，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；
（2）由已知條件易求M點坐標為（0，-2），所以，把點M的坐標代入拋物線解析式可以求得k的值；
（3）此題需要分類討論：分以AM為邊和以AM為對角線兩種情況進行解答．
解答：解：（1）令y=0，則x²-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，則A（2k，0），B（2，0）．
由題意得，，
故可得：．

（2）∵OM=OB，B的坐標為：（2，0），
∴M點坐標為：（0，-2），
把點M的坐標分別代入y=x²-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=-，
故二次函數(shù)表達式為：y=x²-x-2．

（3）由（2）知k=-，則A（-1，0）．
①如圖1，當AM為邊時，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函數(shù)表達式為：y=x²-x-2．
∵M點坐標為：（0，-2），
∴當y=-2時，-2=x²-x-2，解得x=1或x=0，
∴點F的坐標為（1，-2）或（0，-2）（與點M重合，舍去），
∴AN=MF=1，
此時S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如圖2，當AM為對角線時，同理證得AN=MF=1，
此時S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如圖3，當AM為邊時，AE=EN，ME=FE．
設F（a，b），N（t，0），
則，
解得，或，
此時，S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×+2=5+，或S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×+2=5-；
綜上所述，符合條件的平行四邊形的面積是：2，或．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．解答（3）題時，一定要分類討論，防止漏解或錯解．另外，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學思想的應用．