Question

【題目】動(dòng)手操作題：如何能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？
實(shí)際上，一個(gè)三角形只要具備下列三個(gè)條件之一，都可以被分成兩個(gè)等腰三角形：
①一個(gè)角為90°；②一個(gè)角是另一個(gè)的2倍（第三角必須大于45°）；
③一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍.今天，我們通過作圖來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。
（1）問題1：
如圖，Rt△ABC中，求畫一條直線l將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形.并說明直線l與△ABC
邊上的交點(diǎn)D的位置.

（2）問題2：
如圖，△ABC中，∠ACB=80°, ∠BAC=40°,求畫一條直線l把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形， 并在圖中標(biāo)注兩個(gè)頂角的度數(shù).

（3）問題3：
如圖，△ABC中，∠ACB=120°, ∠BAC=40°,求畫一條直線l把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形， 并在圖中標(biāo)注兩個(gè)頂角的度數(shù).

（4）問題:4：
如果等腰三角形能被一條直線分成兩個(gè)等腰三角形，則原等腰三角形的頂角可以是°.（至少寫出三個(gè)）
（5）拓展：已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（ ）
A.6條
B.7條
C.8條
D.9條

Answer 1

【答案】
（1）

解：點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)

（2）

解：

（3）

解：

（4）36°，90°，108°，
（5）B
【解析】解：（4）分以下幾種情況討論：
①如圖1，當(dāng)過頂角頂點(diǎn)的直線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

圖1
設(shè)A=x,
則ACD=A=x,B=A=x,
∴BCD=B=x,
∵A+ACB+B=180 ，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90.
②如圖2，若AC=BC=BD，AD=CD，

圖2
設(shè) ∠B=x ° ,
∵AC=BC，∴∠ A=∠B=x ° ,
∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=x ° ,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x ° ,
∵BC=BD， ∴∠BCD=∠BDC= 2x ° ,
∴∠ ACB=3x ° ,
∴x+x+3x=180，
解得x=36，
則頂角是108.
③如圖3，當(dāng)過底角頂點(diǎn)的角平分線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，

圖3
設(shè) ∠C=x ° ,
∵AD=CD，∴∠CAD=∠C=x ° ,
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x ° ,
∵AD=AB，∴∠B=∠ADB=2x ° ,
∵AC =BC，∴∠CAB=∠B=2x ° ,
∵∠CAB+∠B+∠C=180 °，即2x+2x+x=180，
解得x=36，
則頂角是36.
④如圖4，當(dāng)∠ A=x ° ,∠ ABC=∠ ACB=3x °時(shí) ,也符合. AD=BD，BC=DC，

圖4
∠ A=∠ ABD=x，∠ DBC=∠ BDC=2x，
則x+3x+3x=180，
解得x= ，
則頂角是.
綜上，原等腰三角形的頂角的度數(shù)為36°，90°，108°， ，
所以答案是：36°，90°，108°， .
（5）如圖所示：

當(dāng)BC1=AC1 ， AC=CC2，AB=BC3 ， AC4=CC4 ， AB=AC5 ， AB=AC6 ， BC7=CC7時(shí)， 都能得到符合題意的等腰三角形.
故選B.
【考點(diǎn)精析】利用三角形的內(nèi)角和外角和直角三角形斜邊上的中線對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．