Question

【題目】如圖，拋物線與坐標軸分別交于點 ,點P是線段AB上方拋物線上的一個動點。

（1）當點P運動到什么位置時，的面積有最大值？

（2）過點P作軸的垂線，交線段AB于點D,再過點P作交拋物線于點E,連接DE，請問是否存在點P使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）點P運動到P時，時，ΔPAB的面積有最大值；（2）或.

【解析】

（1）先用待定系數(shù)法求解可得拋物線函數(shù)解析式；然后作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM，先求出直線AB解析式為y=-x+6，設P（t，-t2+2t+6），則N（t，-t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PNAG+PNBM=PNOB列出關于t的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；

（2）若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設點P的橫坐標為a，表示出PD、PE的長，列出關于a的方程，解之可得答案．

解：（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（-2，0），

∴設拋物線解析式為y=a（x-6）（x+2），

將點A（0，6）代入，得：-12a=6，

解得：a=-，

所以拋物線解析式為y=-（x-6）(x+2）=-x2+2x+6；

如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，

設直線AB解析式為y=kx+b，

將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：

,

解得：，

則直線AB解析式為y=-x+6，

設P（t，-t2+2t+6）其中0＜t＜6，

則N（t，-t+6），

∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=PNAG+PNBM

=PN（AG+BM）

=PNOB

=×（-t2+3t）×6

=-t2+9t

=-（t-3）2+，

∴當t=3時，P位于（3，）時，△PAB的面積有最大值；

（3）如圖，

若△PDE為等腰直角三角形，

則PD=PE，

設點P的橫坐標為a，點E的橫坐標為b，

∵，

∴b=4-a，

∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，

又∵PD=-a2+2a+6-（-a+6）=-a2+3a，

∴-a2+3a=2|2-a|，

解得：a=4或a=5-，

所以P（4，6）或P（5-，3-5）．