Question

【題目】在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)。

（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持AN＝BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】
（1） 解：∵∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，

∴BO=CO=AO=BC，

（2）解：△OMN是等腰直角三角形.理由如下：

連接OA，如圖，

∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB=OC，OA平分∠BAC，∠B=45°，

∴∠NAO=∠B=45°，

在△NAO和△MBO 中，

AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，

∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，

∵AC=AB，O是BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，

即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，

即∠NOM=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形.

【解析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊得出答案.
（2）△OMN是等腰直角三角形.理由如下：連接OA，由等腰直角三角形性質(zhì)得出OA=OB=OC，AO⊥BC，OA平分∠BAC，∠NAO=∠B=45°，再由SAS得到△NAO≌ △MBO，由全等三角形的性質(zhì)得出ON=OM，∠AON=∠BOM，再根據(jù)垂直的定義得出∠BOM+∠AOM=90°，由等量代換得∠NOM=90°，從而得證.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)直角三角形斜邊上的中線的理解，了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．