Question

將兩塊形狀大小完全相同的直角三角板按如圖1所示的方式拼在一起．它們中較小直角邊的長為6cm，較小銳角的度數(shù)為30°．

（1）將△ECD沿直線AC翻折到如圖2的位置，連接CF，圖中除了△ABC≌△ECD≌△ECD′外，還有沒有全等的三角形？若有，請(qǐng)指出一對(duì)并給出證明．
（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，將△ECD沿x軸向左平移，使E點(diǎn)落在AB上，請(qǐng)求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)．
（3）若將△ECD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，使E點(diǎn)落在AB上，E′D′交AC于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，CF為半徑作⊙C，請(qǐng)判斷邊E′D′與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意：由軸對(duì)稱的性質(zhì)容易證明：△AFE≌△D′FB；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知CC′為平移的距離，先求BC′的長度，進(jìn)而可得點(diǎn)E′的坐標(biāo)．
（3）通過證明∠CFE′=90°，可得邊E′D′與⊙C的位置關(guān)系．

解答：解：（1）△AEF≌△D′BF，（△ACF與△D′CF，△ECF與△BCF．）
證明：∵△ABC≌△D′EC，
∴∠A=∠D′，AC=D′C，BC=EC，
∴AE=D′B
在△AEF與△D′BF中

∠AFE=∠D′FB ∠A=∠D′ AE=D′B

，
∴△AEF≌△D′BF

（2）在Rt△E′BC′中，BC′=2

3

，所以CC′=6-2

3

，所以E′（2

3

-6，6）

（3）E′D′與⊙C相切．理由如下：
∵E′C=BC，且∠ABC=60°，
∴△BCE′為等邊三角形，
∴∠E′CB=60°，
∴∠E′CF=30°，
又∵∠C E′F=60°，
∴∠CFE′=90°，
∴E′D′與⊙C相切．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．