Question

（2012•長寧區(qū)二模）在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，將一直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC或其延長線上交于D、E兩點（假設(shè)三角板的兩直角邊足夠長），如圖（1）、圖（2）表示三角板旋轉(zhuǎn)過程中的兩種情形．
（1）直角三角板繞點P旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE=

0、2或4±2

2

時，△PEC是等腰三角形；
（2）直角三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖（1）的情形時，求證：PD=PE；
（3）如圖（3），若將直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的點M處，設(shè)AM：MC=m：n（m、n為正數(shù)），試判斷MD、ME的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△PEC是等腰三角形，分類進行討論即可；
（2）連接BP，首先根據(jù)題干條件證明出∠BPD=∠CPE，然后證明△DPB≌△EPC，于是證明出PD=PE；
（3）過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H，首先根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠GMD=∠HME，進而證明出△MGD∽△MHE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到

GM

HM

=

MD

ME

，再求出GM、HM關(guān)于m、n的表達式，三式結(jié)合求出MD、ME之間的比例關(guān)系．

解答：（1）解：當(dāng)BE=0時，即點B和點E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
當(dāng)BE=2時，即E是BC的中點，可得△PEC是等腰三角形
由題干條件知PC=2

2

，當(dāng)CP=CE時△PEC是等腰三角形，BE=4-2

2

； 
當(dāng)E在BC的延長線上時，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2

2

；
故答案為0、2或4±2

2

．   

（2）證明：連接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中點，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵

∠BPD=∠CPE BP=CP ∠ABP=∠C

，
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，

（3）解：MD、ME的數(shù)量關(guān)系是：

MD

ME

=

m

n

，
理由如下：
過M分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、H．
由作圖知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴

GM

HM

=

MD

ME

①，
∵

AM

MC

=

m

n

，
∴

AM

AC

=

m

m+n

，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM∥BC，
∴

GM

BC

=

AM

AC

=

m

m+n

即GM=BC•

m

m+n

②
同理 HM=AB•

n

m+n

，
∵AB=BC，
∴HM=BC•

n

m+n

③
②③代入①得

MD

ME

=

m

n

．

點評：本題主要考查相似綜合題得知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)定理，此題難度較大．