【題目】如圖,已知拋物線y=﹣+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱,點(diǎn)Px軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)Px軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.

(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)已知點(diǎn)F(0,),當(dāng)點(diǎn)Px軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),試求m為何值時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形?

(3)點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2) m=3和m1+; (3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)(10)

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式;

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為yx2,則Q(m,﹣m2+m+2)、M(m,m2),由QMDF且四邊形DMQF是平行四邊形知QMDF,分兩種情況,①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)②當(dāng)P在AB的延長線上時(shí),分別列出關(guān)于m的方程,解之可得;

(3)易知∠ODB=∠QMB,故分①∠DOB=∠MBQ90°,利用△DOB∽△MBQ,再證△MBQ∽△BPQ,即 ,解之即可得此時(shí)m的值;②∠BQM90°,此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合,△BOD∽△BQM′,易得點(diǎn)Q坐標(biāo).

(1)將點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)C(0,2)代入y=﹣x2+bx+c中,得 .

解得 .

則該拋物線解析式為:

(2) 由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,﹣2),

∵點(diǎn)B是拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn),即,

解得x=4或x=-1(舍去),

∴B坐標(biāo)為(4,0);

設(shè)直線BD解析式為ykx+b,

B(40)、D(0,﹣2)代入,得: ,

解得: ,

∴直線BD解析式為yx2,

分以下兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),

QMx軸,P(m,0)(m0),

Q(m,﹣m2+m+2)、M(m,m2)

QM=﹣m2+m+2(m2)=﹣m2+m+4,

F(0)、D(0,﹣2),

DF

QMDF,

∴當(dāng)﹣m2+m+4時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形,

解得:m=﹣1m3,

∵m>0,

∴m=3;

即當(dāng)m3時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形;

②當(dāng)P在AB的延長線上時(shí),

QMx軸,P(m,0)(m0),

Q(m,﹣m2+m+2)、M(m,m2)

QMm2(m2+m+2)m2m4,

F(0,)、D(0,﹣2),

DF,

QMDF,

∴當(dāng)m2m4時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形,

解得m,

m>0,

m1+;

即當(dāng)m1+時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形;

綜上所述,當(dāng)m=3和m1+時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形;

(3)如圖所示:

QMDF,

∴∠ODB=∠QMB,

分以下兩種情況:

①當(dāng)∠DOB=∠MBQ90°時(shí),△DOB∽△MBQ,

,

∵∠MBQ90°,

∴∠MBP+PBQ90°

∵∠MPB=∠BPQ90°,

∴∠MBP+BMP90°,

∴∠BMP=∠PBQ,

∴△MBQ∽△BPQ,

,即 ,

解得:m13、m24,

當(dāng)m4時(shí),點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合,不能構(gòu)成三角形,舍去,

m3,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2);

②當(dāng)∠BQM90°時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合,△BOD∽△BQM′,

此時(shí)m=﹣1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0)

綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)(10)時(shí),以點(diǎn)B、QM為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似.

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