Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，點p_n（x_n，y_n）在雙曲線上（n，x_n，y_n都是正整數(shù)，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n）．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過（0，3），（-2，3），（1，0）三點．

x	…						…
y	…						…

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并在坐標系中畫出它的圖象；
（2）直接寫出點p_n（x_n，y_n）的坐標，并寫出p_n中任意兩點所確定的不同直線的條數(shù)；
（3）從（2）中得到的所有直線中隨機（任意）取出一條，利用圖象求取出的直線與拋物線有公共點的概率；
（4）設拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點分別為A，B（A在B左側(cè)），將拋物線y=ax²+bx+c向上平移，平移后的拋物線與x軸的交點分別記為C，D（C在D左側(cè)），求值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過（0，3），（-2，3），（1，0）三點，
∴，解得：
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

圖象為：

（2）P點的坐標為：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意兩點所確定的不同直線的條數(shù)共有：6條．

（3）由圖得，p_n中任意兩點所確定的不同直線有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6條，其中與拋物線有公共點的直線只有一條，P₃P₄，
∴從（2）中得到的所有直線中隨機（任意）取出一條，取出的直線與拋物線有公共點的概率為：

（4）∵點C、點D是拋物線向上平移后與x軸的交點，
∴拋物線的對稱軸不變，設拋物線的對稱軸與拋物線的交點是點E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=，S_△P1AD=
∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴=1
分析：（1）利用待定系數(shù)法根據(jù)已知條件就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由條件可以知道xn，yn都是6的正約數(shù)，x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n．就可以求出x的值，從而求出Pn的坐標．
（3）先在畫好拋物線的圖象的坐標系中描出所有p_n（x_n，y_n）地坐標，再過點畫直線，確定與 拋物線有交點的線段條數(shù)占總條數(shù)的比就是直線與拋物線有公共點的概率．
（4）根據(jù)拋物線的對稱性可以求出拋物線向上平移后CB=AD，就可以得到這兩個三角形的底相等，高相等，故可以求出面積之比．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，概率的運用，圖象的平移．