Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為A（，1）的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過(guò)B作OA的平行線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，求證：△OCD≌△OAB；

（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，（2）先求出直線(xiàn)OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x．再求出直線(xiàn)BD的表達(dá)式為y=x﹣2．最后求出交點(diǎn)坐標(biāo)C，D即可；

（3）先判斷出C'D與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，它使得△PCD的周長(zhǎng)最�。�作輔助線(xiàn)判斷出△C'PO∽△C'DQ即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為A（，1），設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x﹣）2+1，將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）在拋物線(xiàn)上，∴0=a（）2+1

∴a=﹣，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=﹣x2+x．

（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，∴x=0（舍），或x=2

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），設(shè)直線(xiàn)OA的表達(dá)式為y=kx．∵A（，1）在直線(xiàn)OA上，∴k=1，∴k=，∴直線(xiàn)OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x．

∵BD∥AO，設(shè)直線(xiàn)BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+b．∵B（2，0）在直線(xiàn)BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，∴直線(xiàn)BD的表達(dá)式為y=x﹣2．

由

得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣2，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2），由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．

在△OAB與△OCD中， ，∴△OAB≌△OCD．

（3）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（0，2），∴C'D與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，它使得△PCD的周長(zhǎng)最小．

過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥y，垂足為Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，∴，∴，∴PO=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）．