Question

（2013•北京）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y=-x-1，雙曲線y=

1

x

，在l上取一點A₁，過A₁作x軸的垂線交雙曲線于點B₁，過B₁作y軸的垂線交l于點A₂，請繼續(xù)操作并探究：過A₂作x軸的垂線交雙曲線于點B₂，過B₂作y軸的垂線交l于點A₃，…，這樣依次得到l上的點A₁，A₂，A₃，…，A_n，…記點A_n的橫坐標為a_n，若a₁=2，則a₂=

-

3

2

，a₂₀₁₃=

-

1

3

；若要將上述操作無限次地進行下去，則a₁不可能取的值是

0、-1

．

Answer 1

分析：求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，繼而得出a₂₀₁₃的值，根據(jù)題意可得A₁不能在x軸上，也不能在y軸上，從而可得出a₁不可能取的值．

解答：解：當a₁=2時，B₁的縱坐標為

1

2

，
B₁的縱坐標和A₂的縱坐標相同，則A₂的橫坐標為a₂=-

3

2

，
A₂的橫坐標和B₂的橫坐標相同，則B₂的縱坐標為b₂=-

2

3

，
B₂的縱坐標和A₃的縱坐標相同，則A₃的橫坐標為a₃=-

1

3

，
A₃的橫坐標和B₃的橫坐標相同，則B₃的縱坐標為b₃=-3，
B₃的縱坐標和A₄的縱坐標相同，則A₄的橫坐標為a₄=2，
A₄的橫坐標和B₄的橫坐標相同，則B₄的縱坐標為b₄=

1

2

，
即當a₁=2時，a₂=-

3

2

，a₃=-

1

3

，a₄=2，a₅=-

3

2

，
b₁=

1

2

，b₂=-

2

3

，b₃=-3，b₄=

1

2

，b₅=-

2

3

，
∵

2013

3

=671，
∴a₂₀₁₃=a₃=-

1

3

；
點A₁不能在y軸上（此時找不到B₁），即x≠0，
點A₁不能在x軸上（此時A₂，在y軸上，找不到B₂），即y=-x-1≠0，
解得：x≠-1；
綜上可得a₁不可取0、-1．
故答案為：-

3

2

、-

1

3

；0、-1．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點的規(guī)律變化，解答此類題目一定要先計算出前面幾個點的坐標，由特殊到一般進行規(guī)律的總結，難度較大．