Question

（2013•北京）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=

1

2

BC，連接DE，CF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對(duì)邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H，構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過(guò)解直角△DCH和在直角△DHE中運(yùn)用勾股定理來(lái)求線段ED的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴DF=

1

2

AD．
又∵CE=

1

2

BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H．
在?ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=2，DH=2

3

．
在?CEDF中，CE=DF=

1

2

AD=3，則EH=1．
∴在Rt△DHE中，根據(jù)勾股定理知DE=

(2 3 )2+1

=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．