【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB=BC.AD是⊙O的直徑,AC、BD交于點(diǎn)E,P為DB延長線上一點(diǎn),且PB=BE.
(1)求證:△ABE∽△DBA;
(2)試判斷PA與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若E為BD的中點(diǎn),求tan∠ADC的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)PA與⊙O相切,理由見解析;(3)2.
【解析】
分析: (1)先判斷出弧AB=弧BC,進(jìn)而得出∠ADB=∠BAE,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出AB是PE的垂直平分線,進(jìn)而得出∠BAP=∠BAE,即可得出結(jié)論;
(3)先利用相似得出AB,進(jìn)而用勾股定理的粗話AE,再判斷出△ABE∽△DCE,進(jìn)而求出CD,CE,即可得出AC,即可得出結(jié)論.
詳解:
(1)證明:∵AB=BC,
∴,
∴∠ADB=∠BAE,
∵∠ABE=∠DBA,
∴△ABE∽△DBA;
(2)解:PA與⊙O相切,
理由:∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°,
∵PB=BE,
∴AB是PE的垂直平分線,
∴AP=AE,
∴∠BAP=∠BAE,
∵∠ADB=∠BAE,
∴∠BAP=∠ADB,
∵∠DAB+∠BDA=90°,
∴∠DAB+BAP=90°,
∵點(diǎn)A在⊙O上,
∴PA與⊙O相切;
(3)解:設(shè)BE=DE=a,則BD=2a,
∵△ABE∽△DBA,
∴,
∴,
∴AB=a,
根據(jù)勾股定理得,AE==a,
∵,
∴∠BAE=∠CDE,
∵∠AEB=∠DEC,
∴△ABE∽△DCE,
∴,
∴,
∴CD=a,CE=a,
∴AC=AE+CE=,
∵AD是⊙O直徑,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中,tan∠ADC==2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以AB為直徑作⊙O,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),劣弧CB沿BC翻折,交AB于點(diǎn)D,過A作⊙O的切線交DC的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:AC=CD;
(2)已知tanE=,AC=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正三角形ABC的邊長為3+.
(1)如圖,正方形EFPN的頂點(diǎn)E,F(xiàn)在邊AB上,頂點(diǎn)N在邊AC上,在正三角形ABC及其內(nèi)部,以點(diǎn)A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ACPB的面積最大?求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖①,在直角三角形中,,于點(diǎn),可知(不需要證明);
(1)探究:如圖②,,射線在這個角的內(nèi)部,點(diǎn)、在的邊、上,且,于點(diǎn),于點(diǎn).證明:;
(2)證明:如圖③,點(diǎn)、在的邊、上,點(diǎn)、在內(nèi)部的射線上,、分別是、的外角。已知,.求證:;
(3)應(yīng)用:如圖④,在中,,.點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)、在線段上,.若的面積為15,則與的面積之和為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形。例如:某三角形三邊長分別是5,6和8,因?yàn)?/span>,所以這個三角形是常態(tài)三角形。
(1)若△ABC三邊長分別是2,和4,則此三角形_________常態(tài)三角形(填“是”或“不是”);
(2)若Rt△ABC是常態(tài)三角形,則此三角形的三邊長之比為__________________(請按從小到大排列);
(3)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),連接CD,若△BCD是常態(tài)三角形,求△ABC的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,
(1)求k的值;
(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍;
(3)過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為224,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn),AE=ED,DF=DC,連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G.
(1)求證:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的邊長為4,求BG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個分?jǐn)?shù)(分子、分母均為正整數(shù))的分母比它的分子大5.
(1)若將這個分?jǐn)?shù)的分子加上14,分母減去1,則所得的分?jǐn)?shù)是原分?jǐn)?shù)的倒數(shù),求這個分?jǐn)?shù);
(2)若將這個分?jǐn)?shù)的分子、分母同時加上4,試比較所得的分?jǐn)?shù)和原分?jǐn)?shù)的大。
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