Question

己知：正方形ABCD．
（1）如圖1，點E、點F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時，線段BE、DF的數(shù)量關系和位置關系分別是什么？請直接寫出結論．
（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當0°＜α＜90°時，連接BE、DF，此時（1）中的結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當α=90°時，連接BE、DF，猜想當AE與AD滿足什么數(shù)量關系時，直線DF垂直平分BE．請直接寫出結論．
（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當90°＜α＜180°時，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，如果其對角線DF的長度為

6

cm，那么四邊形BDEF的面積是多少？請直接寫出結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根據(jù)旋轉角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DF，全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADF，延長DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，從而得到∠BOD=90°，根據(jù)垂直的定義得到BE⊥DF；
（3）連接BD，直線DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=

2

AD，解答出即可；
（4）如圖，通過證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結合（2）中結論，可得到各邊中點所組成的四邊形的形狀，進而求出四邊形面積．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
∵AE=AF，
∴AB-AE=AD-AF，
即BE=DF，
∵∠A=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（2）成立；
理由：如圖②，∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延長DF交BE于O，
∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2（對頂角相等），
∴∠ABE+∠2=90°，
∴∠BOD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（3）如圖③，連接BD，
∵直線DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD，BD=

2

AD，
∴AE=（

2

-1）AD；


（4）如圖④，連接BE、DF，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
設DF交BE于點P，
∵∠ADY+∠DYA=90°，∠DYA=∠BYP（對頂角相等），
∴∠ABE+∠BYP=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
∴順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是正方形．
∴四邊形BDEF的面積是

1

2

×

6

×

6

=3（cm²）．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及中點四邊形的判定，熟記各性質求出三角形全等是解題的關鍵．