Question

【題目】△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．
（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)S△DEF= S△ABC時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

理由如下：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，

∴△ADE∽△ABD，

同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，

∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴△ADE∽△DCE，

（2）

解：△BDF∽△CED∽△DEF，

證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，

∴ =

∵BD=CD，

∴ = ．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）

解：連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD= BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，

∴AD=8，

∴S△ABC= BCAD= ×12×8=48．

S△DEF= S△ABC= ×48=12．

又∵ ADBD= ABDH，

∴DH= = =4.8，

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD

∵DG⊥EF，DH⊥BF，

∴DH=DG=4.8．

∵S△DEF= ×EF×DG=12，

∴EF= =5．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出BD：DF=EC：DE，進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF． （3）首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的 ，求出DH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用S△DEF的值求出EF即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．