Question

已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)。

1.（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長；

2.（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD 的最大值，及相應(yīng)∠APB  的大小。

 

Answer 1

 

1.（1）①如圖11，作AE⊥PB于點(diǎn)E．

             ∵ △APE中，∠APE=45°，，

             ∴ ，

                ．

             ∵ ，

             ∴ ．

             在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴ ．…………1分

           ②解法一：如圖12，因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為正方形，可將

△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，

可得△≌△，,．

       ∴ =90°，=45°，=90°．

                    ∴ ．分

                    ∴ ．…………2分

              解法二：如圖13，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的  延長線交PB于G．

                     在Rt△AEG中，可得

，

，．

                      在Rt△PFG中，可得，．

                     在Rt△PDF中，可得

                                           ．

2.（2）如圖14所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△， PD 的最大值即為的最大值.

∵ △中，，，，

且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，

∴ 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（見圖15）.

        此時(shí)，即的最大值為6. …………4分

        此時(shí)∠APB=180°－=135°. …………5分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析:略