Question

二次函數(shù)y=ax²-6ax+c（a＞0）的圖象拋物線過點C（0，4），設(shè)拋物線的頂點為D．
（1）若拋物線經(jīng)過點（1，-6），求二次函數(shù)的解析式；
（2）若a=1時，試判斷拋物線與x軸交點的個數(shù)；
（3）如圖所示A、B是⊙P上兩點，AB=8，AP=5．且拋物線過點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并有AD=BD．設(shè)⊙P上一動點E（不與A、B重合），且∠AEB為銳角，若

3

16

＜a≤1時，請判斷∠AEB與∠ADB的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點C和點（1，-6）代入函數(shù)解析式求出a、c的值，即可得解；
（2）把a=1代入函數(shù)解析式，令y=0，利用根的判別式解答；
（3）連接AP，作PF⊥AB交AB于F，根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸解析式，再求出點A、B的坐標，然后在Rt△APF中利用勾股定理列式求出PF，從而得到點P的坐標，再根據(jù)頂點公式求出點D的坐標，然后求出PD，再分點D在⊙P內(nèi)，在⊙P上和在⊙P外三種情況討論求解即可．

解答：解：（1）由二次函數(shù)y=ax²-6ax+c（a＞0）的圖象過點C（0，4）得，c=4，
若拋物線經(jīng)過點（1，-6），則a-6a+4=-6，
解得a=2，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=2x²-12x+4；

（2）若a=1，則二次函數(shù)解析式為y=x²-6x+4，
令y=x²-6x+4=0，
則△=（-6）²-4×1×4=20＞0，
所以，拋物線與x軸的交點有2個；

（3）連接AP，作PF⊥AB交AB于F，
由二次函數(shù)y=ax²-6ax+c（a＞0）可得對稱軸為直線x=-

-6a

2a

=3，
∵A、B在拋物線上，AB=8，且AD=BD，
∴點A、B關(guān)于對稱軸直線x=3對稱，
∴點A（-1，7a+4），B（7，7a+4），
在Rt△APF中，AF=

1

2

AB=4，AP=5，
由勾股定理得，PF=

AP2-AF2

=

52-42

=3，
∴點P的坐標為（3，7a+1），
由頂點公式得D（3，4-9a），
∵a＞

3

16

，
∴16a-3＞0，
∴點P在點D的上方，
∴PD=（7a+1）-（4-9a）=16a-3，
①點D在⊙P內(nèi)時，PD₁＜5，則16a-3＜5，

3

16

＜a＜

1

2

，
此時，∠AEB＜∠ADB，
②點D在⊙P上時，PD₂=5，則16a-3=5，a=

1

2

，
此時，∠AEB=∠ADB，
③點D在⊙P外時，PD₃＞5，則16a-3＞5，

1

2

＜a≤1，
此時，∠AEB＞∠ADB．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點的個數(shù)的求解，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應(yīng)用，點與圓的位置關(guān)系，難點在于（3）求出拋物線的對稱軸并確定出點A、B的坐標，然后求出點P和頂點D的坐標，從而求出PD的長度，也是解決本題的關(guān)鍵．