Question

【題目】閱讀下面材料：

小敏遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作EF∥DC，交BC延長線于點(diǎn)F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過推理和計算能夠使

問題得到解決（如圖2）．

（1）請回答：BC+DE的值為　　．

（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，已知ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點(diǎn)G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．

如圖4，已知：AB、CD交于E點(diǎn)，連接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，則∠AED= 度，若CD=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠AGF=60°，∠AED=45°，AB＝7

【解析】試題分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，四邊形DCFE是平行四邊形，可得Rt△BEF，求出BF的長，證明BC+DE=BF；

（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，則可求得答案．

以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDF，則有∠ABF=∠AED=45°，BF=DC=4，通過解直角三角形求解即可.

試題解析：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

∵CD⊥BE，

∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF=

（2）解決問題：連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四邊形DCEF是平行四邊形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等邊三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．

∵∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，

∴∠D+∠B=90°，∠A+∠C=180°．

∵∠A+∠D+∠AED=180°，

∠B+∠C+∠BEC=180°，

∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC=360°．

∴∠AED+∠BEC+90°+180°=360°．

∴∠AED+∠BEC=90°．

∵∠AED=∠BEC，

∴∠AED=∠BEC=45°．

以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDF，連接AF，如圖2所示，

∵四邊形BCDF是平行四邊形，

∴BF=DC=4，DF=BC=1，∠DFB=∠C=180°﹣∠DAB，DC∥BF．

∴∠ABF=∠AED=45°．

在四邊形ABFD中，

∵∠DAB+∠ABF+∠BFD+∠ADF=360°，∠DFB=180°﹣∠DAB，∠ABF=45°，

∴∠ADF=135°．

DF=1 , DG=FG=

在△AGF中，

∵AG=3.5，DG=，∠G=90°，

∴AF=5

BF=4,FH=BH=4,AF=5,AH=3

∴AB的長為7．