Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F．
求證：（1）AE=CF；
（2）S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．

Answer 1

證明：（1）連接AP．

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，
∴AP=PC=BP（直角三角形斜邊上的中線是斜邊長的一半）；
在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=45°；
在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=45°；
∴∠EAP=∠C=45°；
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE；
∴在△AEP與△CPF中，
∠EAP=∠C=45°，
AP=CP，
∠CPF=∠APE，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）∵△AEP≌△CPF，
∴S_△AEP=S_△CPF（全等三角形的面積相等）；
又∵S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APC=S_△ABC；
即S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．
分析：連接AP．
（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證明△AEP≌△CFP，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等求得AE=CF；
（2）利用“割補法”求得S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，然后利用（1）的結(jié)果知S_△AEP=S_△CPF，∴S_{四邊形AEPF}=S_△APC=S_△ABC．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
①三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等（簡稱SSS）；②有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；
③有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；
④有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS）；
⑤直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．