Question

如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CG⊥AB于E，AD延長后交GC于F．
（1）求證：△AFC∽△ACD；
（2）若CD=2，AD=3，AC=4，求CE的長．

Answer 1

解：連接AG，
∵AB為圓O直徑，AB⊥CG，
∴CE=GE，
∴AC=AG，∠2=∠3，
∵∠1=∠3（四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角），
∴∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ACF（等角的補(bǔ)角相等），
又∵∠CAF=∠DAC，
∴△ACD∽△AFC；

（2）∵△ACD∽△AFC，
∴，
∴AC²=AD•AF，
∵AD=3，AC=4，
∴AF=
∴FD=AF-AD=-3=，
又∵∠1=∠3，∠CFD=∠AFG，
∴△CFD∽△AFG，
∴=，
∵AG=AC=4，
==，
解得：CF=，F(xiàn)G=，
∴CG=FG-CF=2，
而點(diǎn)E為CG中點(diǎn)
∴CE=1．
分析：（1）連接AG，利用垂徑定理和圓的內(nèi)接四邊形定理證明∠ADC=∠ACF，再加公共角相等，即可證明△ACD∽△AFC；
（2）由（1）可得AC2=AD•AF，由已知數(shù)據(jù)先求出AF，進(jìn)而求出FD的值，再通過證明△CFD∽△AFG，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出CF，F(xiàn)G的值，所以可以求出CG的值，利用等腰三角形的性質(zhì)從而求出CE的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、圓的內(nèi)接四邊形定理、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，題目的綜合性不小，難度中等．