Question

（2004•宿遷）如圖，在正方形ABCD中，以對角線AC為一邊作一等邊△ACE，連接ED并延長交AC于點F．
（Ⅰ）求證：EF⊥AC；
（Ⅱ）延長AD交CE于點G，試確定線段DG和線段DE的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）可由SSS證得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：頂角的平分線與底邊上的高重合知，EF⊥AC；
（2）過G作GM⊥EF，垂足為M，則可證得△DMG為等腰直角三角形，△MGE為含30度角的直角三角形，進而設出參數(shù)，解△DMG和，△MGE這兩個直角三角形，求得DG與DE的比．
解答：（1）證明：由已知，得，
∴△AED≌△CED，（2分）
∴∠AED=∠CED，（3分）
又∵△AEC為等邊三角形，
∴EF⊥AC；（4分）

（2）解法一：
過G作GM⊥EF，垂足為M，（5分）
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM（6分）
設GM=x，則DG=
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，（7分）
∴EM=（8分）
∴ED=+x=（）x（9分）
∴
即DE=DG（或）（10分）

解法二：
過E作EM⊥AD，垂足為M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
設EM=DM=x，
則DE=x（6分）
在Rt△AEF中，cot30°=，
∴DF=AF=（7分）
∴AD=
=（8分）
∵△CDG∽△AME，
∴
即
∴DG=（9分）
∴
即（或）．（10分）
點評：本題利用了等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．