Question

如圖，直線y=x+3與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過點A，B，頂點為C，連接CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱．
（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

（1）解：由y=x+3與坐標軸分別交于A、B兩點，易得A點坐標（-3，0）、
B點坐標（0，3）
∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A、B兩點
∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得：b=-2
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3
∴頂點C的坐標為（-1，4）

（2）證明：∵B、D關于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）
∴D（-2，3）
∵B（0，3），A（-3，0）
∴OA=OB，
∵C（-1，4），B（0，3）
∴直線CB的解析式為：y=-x+3，
∴E（3，0），
∴OB=OE，
∴∠BEO=∠OBE=45°，
又∠AOB=90°
∴∠ABO=∠BAO=45°
∴∠ABE=90°，
∵B、D關于MN對稱
∴BD⊥MN
又∵MN⊥X軸
∴BD∥X軸
∴∠DBA=∠BAO=45°
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°
∴∠ABC=180°-∠ABE=180°-∠DBO=90°
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°
∵CM⊥BD
∴∠MCB=45°
∵B，D關于MN對稱
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB
又∵AD與BC不平行
∴四邊形ABCD是梯形
∵∠ABC=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形．
分析：（1）先根據(jù)直線y=x+3求得點A與點B的坐標，然后代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得其頂點坐標即可；
（2）根據(jù)B、D關于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）求得點D的坐標，然后得到AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)∠ABC=90°得到四邊形ABCD是直角梯形．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別題目中涉及到的對稱點的問題，更是近幾年中考中的常見知識點．