Question

提出問題

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN. 求證：∠ABC=∠ACN.

類比探究 

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3，在等腰△ABC中， BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN =∠ABC. 連結(jié)CN. 試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

（1）證明：∵等邊△ABC，等邊△AMN

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAM=∠CAN                   …………………………1分

∴△BAM≌△CAN（SAS）           …………………………2分

∴∠ABC=∠ACN                   …………………………3分

（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立   . ………………………4分

理由如下：∵等邊△ABC，等邊△AMN  

∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAM=∠CAN    ∴△BAM≌△CAN   ………………………5分

∴∠ABC=∠ACN                       ………………………6分

（3）解：∠ABC=∠ACN                  ………………………7分

理由如下：∵BA=BC， MA=MN，頂角∠ABC =∠AMN

∴底角∠BAC=∠MAN       ∴△ABC∽△AMN，     …………………8分

∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC

 ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN           ……………9分                                 

∴∠ABC=∠ACN                              ………………………10分