【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對(duì)角線AC為⊙O的直徑,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),連接DB,DC,DF.

1求∠CDE的度數(shù);

2求證:DF是⊙O的切線;

3若AC=2DE,求tan∠ABD的值.

【答案】190°;2詳見(jiàn)解析;32.

【解析】

試題分析:1根據(jù)圓周角定理即可得∠CDE的度數(shù);2連接DO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)易證∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,即可判定DF是⊙O的切線;3根據(jù)已知條件易證△CDE∽△ADC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出AD,DC的長(zhǎng),再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值即可

試題解析:1解:∵對(duì)角線AC為⊙O的直徑,

∴∠ADC=90°,

∴∠EDC=90°;

2證明:連接DO,

∵∠EDC=90°,F(xiàn)是EC的中點(diǎn),

∴DF=FC,

∴∠FDC=∠FCD,

∵OD=OC,

∴∠OCD=∠ODC,

∵∠OCF=90°,

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,

∴DF是⊙O的切線;

3解:如圖所示:可得∠ABD=∠ACD,

∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,

∴∠DCA=∠E,

又∵∠ADC=∠CDE=90°,

∴△CDE∽△ADC,

=,

∴DC2=ADDE

∵AC=2DE,

∴設(shè)DE=x,則AC=2x,

則AC2﹣AD2=ADDE,

2x2﹣AD2=ADx,

整理得:AD2+ADx﹣20x2=0,

解得:AD=4x或﹣4.5x負(fù)數(shù)舍去

則DC==2x,

故tan∠ABD=tan∠ACD===2.

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②若將三角板CDE繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),直至回到圖1位置.在這一過(guò)程中,是否還會(huì)存在△CDE其中一邊與AB平行?如果存在,請(qǐng)你畫(huà)出示意圖,并直接寫(xiě)出相應(yīng)的∠ECB的大。蝗绻淮嬖,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)求∠AMB的度數(shù).

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