Question

如圖：已知，直線l₁⊥l₂，垂足為y軸上一點A，線段OA=2，OB=1．
（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過點A、B、C，求出函數(shù)的解折式；
（3）（2）中的拋物線的對稱軸上存在P，使△PBC為等腰直角三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知了OA，OB的長，可直接寫出A，B的坐標(biāo)，求C點坐標(biāo)時，可用射影定理先求出OC的長，進(jìn)而可得出C的坐標(biāo)；
（2）由于拋物線過B，C兩點，因此可將拋物線的解析式設(shè)為交點式，然后根據(jù)A點的坐標(biāo)可得出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式即可得出P點的橫坐標(biāo)，如果△PBC為等腰直角三角形，那么BC長的一半就是P點縱坐標(biāo)的絕對值，由此可得出P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知得；A（0，2），B（-1，0），
根據(jù)射影定理得：OC=4，
故C（4，0）；

（2）先將B、C點坐標(biāo)代入解析式得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0

求得：

a= 1 2 b= 3 2

再將C點代入解析式可得：c=2，
所以解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）易知BC=4-（-1）=5，拋物線的對稱軸為x=1.5．
若存在符合條件的P點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知：
|y_P|=

1

2

BC=2.5，
故：P（1.5，2.5）或P（1.5，-2.5）．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及等腰直角三角形的判定等知識點，確定出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．