Question

已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，-1），點(diǎn)P是拋物線y=上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1的相切；
（2）設(shè)直線PM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出PM、P到直線y=-1的距離，然后判斷它們是否相等即可；
（2）分別過P、Q作直線y=-1的垂線，設(shè)垂足為H、R，那么PH∥MN∥QR，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得：PM：HN=QM：RN，而PM=PH，QM=QR，等量代換后即可證得△PNH∽△QNR，由此可得∠QNR=∠PNH，進(jìn)而可證得所求的結(jié)論；
（3）顯然∠PNM、∠NPM都不可能是直角，當(dāng)∠PMN=90°時(shí)，若△PMN是等腰直角三角形，那么PM=MN=2，由此可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（另一種解法：若△PNM是等腰Rt△，那么∠PNM=∠PNH=45°，由此可得PH=NH，可列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．）
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²），則
PM=；（2分）
又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線y=-1的距離為，
所以，以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1相切；（2分）

（2）如圖，分別過點(diǎn)P，Q作直線y=-1的垂線，垂足分別為H，R；
由（1）知，PH=PM，
同理可得，QM=QR．（2分）
因?yàn)镻H，MN，QR都垂直于直線y=-1，
所以PH∥MN∥QR，（1分）
于是，
所以，
因此，Rt△PHN∽R(shí)t△QRN，（2分）
于是∠HNP=∠RNQ，從而∠PNM=∠QNM；（1分）

（3）顯然，∠MNP≠90°，∠NPM≠90°，
所以，只能∠PMN=90°，（2分）
要使△PMN為等腰直角三角形，則有：
PM⊥MN且PM=MN，（1分）
所以，P（2，1）或（-2，1）（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了切線的判定、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定等知識(shí)，難度適中．