Question

如圖，拋物線y＝(x－3)²－1與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D.

（1）試求點A、B、D的坐標；

（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD于點H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE、AD.求證：∠AEO＝∠ADC；  

（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P，過點P作⊙O的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標.

 

Answer 1

解：（1）由y＝0得(x－3)²－1＝0，解得x₁＝3－，x₂＝3＋，又點A在點B的左側(cè)，∴A點坐標為（3－，0），B點坐標為（3＋，0），由拋物線解析式y＝(x－3)²－1可得頂點D的坐標為（3，﹣1）.

（2）如下圖，過點D作DG⊥y軸于點G，∵∠DCG＝∠EOM，∠CGD＝∠OME＝90°，∴△CDG∽△OEM，∴,即，∴解得EM＝2，∴E點坐標為（3,2），ED＝2＋1＝3，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²＝EM²＋AM²＝2²＋[3－（3－）]²＝6，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD²＝DM²＋AM²＝1²＋[3－（3－）]²＝3，∴AE²＋AD²＝6＋3＝9＝3²＝ED²，∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90°.設(shè)AE交CD于點F，∴∠ADC＋∠AFD＝90°，又∵∠AEO＋∠HFE＝90°，∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC.

（3）如下圖，由⊙E的半徑為1，由勾股定理得PQ²＝EP²－1，要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP²最小.設(shè)P點坐標為（x，y）,則PQ＝x－3，EQ＝2－y，∴由勾股定理得EP²＝（x－3）²＋（2－y）²，∵y＝(x－3)²－1，∴（x－3）²＝2y＋2，∴EP²＝2y＋2＋y²－4y＋4＝（y－1）²＋5，當y＝1時，EP²最小值為5.把y＝1代入y＝(x－3)²－1得(x－3)²－1＝1，解得x₁＝1，x₂＝5，又∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，∴x₁＝1不合題意，舍去，∴點P的坐標為（5，1）.