Question

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)是4，的平分線交于點(diǎn)，若點(diǎn)、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)作的垂線交于F，交AC于D′，再過(guò)D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．

解：過(guò)作的垂線交于F，交AC于D′，再過(guò)D′作D′P′⊥AD，如下圖，

∵DD′⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=4，

∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，

∴AP′=P′D′，

在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=，

即的最小值是．

故答案為：．