【題目】如圖1,拋物線經(jīng)過平行四邊形頂點(diǎn)、、,拋物線與軸的另交點(diǎn)為.經(jīng)過點(diǎn)的直線將平行四邊形分割為面積相等的兩部分,與拋物線交于另點(diǎn).點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)何值時(shí),的面積最大?并求最大值的立方根;

(3)是否存在點(diǎn)使為直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)t=時(shí),PEF的面積最大,其最大值為×,

最大值的立方根為= ;(3)存在滿足條件的點(diǎn)P,t的值為1或

【解析】

試題分析:(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)由A、C坐標(biāo)可求得平行四邊形的中心的坐標(biāo),由拋物線的對(duì)稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得直線EF的解析式,作PHx軸,交直線l于點(diǎn)M,作FNPH,則可用t表示出PM的長(zhǎng),從而可表示出PEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;

(3)由題意可知有PAE=90°或APE=90°兩種情況,當(dāng)PAE=90°時(shí),作PGy軸,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;當(dāng)APE=90°時(shí),作PKx軸,AQPK,則可證得PKE∽△AQP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.

試題解析: (1)由題意可得,解得

拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)A(0,3),D(2,3),

BC=AD=2,

B(﹣1,0),

C(1,0),

線段AC的中點(diǎn)為(,),

直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分,

直線l過平行四邊形的對(duì)稱中心,

A、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

拋物線對(duì)稱軸為x=1,

E(3,0),

設(shè)直線l的解析式為y=kx+m,把E點(diǎn)和對(duì)稱中心坐標(biāo)代入可得,解得,

直線l的解析式為y=﹣x+,

聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得,解得

F(﹣,),

如圖1,作PHx軸,交l于點(diǎn)M,作FNPH,

P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t,

P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),

PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,

SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣+×

當(dāng)t=時(shí),PEF的面積最大,其最大值為×,

最大值的立方根為=;

(3)由圖可知PEA90°,

只能有PAE=90°或APE=90°,

當(dāng)PAE=90°時(shí),如圖2,作PGy軸,

OA=OE,

∴∠OAE=OEA=45°,

∴∠PAG=APG=45°,

PG=AG,

t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),

當(dāng)APE=90°時(shí),如圖3,作PKx軸,AQPK,

則PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,

∵∠APQ+KPE=APQ+PAQ=90°,

∴∠PAQ=KPE,且PKE=PQA,

∴△PKE∽△AQP,

,即,即t2﹣t﹣1=0,解得t=或t=(舍去),

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,t的值為1或

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