Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)B、C重合．
（1）在以下五個(gè)結(jié)論中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形全等于△PQB；④以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是

 

．（只需將結(jié)論的代號(hào)填入題中的模線上）．
（2）設(shè)AC=BC=1，當(dāng)CQ的長(zhǎng)取不同的值時(shí)，△CPQ是否可能為直角三角形？若可能，請(qǐng)說(shuō)明所有的情況；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可知一定不成立的有：①，④．
（2）過(guò)Q作QP⊥BC，交AB于P點(diǎn)，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點(diǎn)．作OP₁⊥AB于P₁點(diǎn)．設(shè)CO=t，則OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．先根據(jù)相似三角形△ABC∽△OBP₁的性質(zhì)求得t值，即得到線段CD的長(zhǎng)度，再分情況討論．①Q(mào)與點(diǎn)D重合時(shí)，以CQ為直徑的圓與AB相切，②Q點(diǎn)在線段CD上時(shí)（不與C、D重合），0＜CQ＜2

2

-2，以CQ為直徑的圓與AB相離，③Q點(diǎn)在DB上時(shí)（不與D、B重合），2

2

-2＜CQ＜1，以CQ為直徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃．

解答：解：（1）①，④（4分）

（2）可能．
例如：過(guò)Q作QP⊥BC，交AB于P點(diǎn)，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點(diǎn)．作OP₁⊥AB于P₁點(diǎn)．（5分）
∴CO=OP₁以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切，切點(diǎn)為P₁，與CB的交點(diǎn)為D．
設(shè)CO=t，則OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．
由△ABC∽△OBP₁，得

OP1

AC

=

OB

AB

，
∴

t

1

=

1-t

2

，
∴t=

2

-1，
∴CD=2

2

-2（7分），
∴當(dāng)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，以CQ為直徑的圓與AB相切，切點(diǎn)為P₁，連CP₁、P₁Q，△CP₁Q為直角三角形，此時(shí)共有兩個(gè)直角三角形（8分）
當(dāng)Q點(diǎn)在線段CD上時(shí)（不與C、D重合），0＜CQ＜2

2

-2，以CQ為直徑的圓與AB相離，此時(shí)只有一個(gè)直角三角形CQP．（9分）
當(dāng)Q點(diǎn)在DB上時(shí)（不與D、B重合），2

2

-2＜CQ＜1，以CQ為直徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃．分別連接P₂、P₃與點(diǎn)C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此時(shí)有三個(gè)直角三角形．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此類題目是相似與圓的知識(shí)的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在第（2）題，解決的根據(jù)是三角形相似的性質(zhì)和直線和圓的三種位置關(guān)系．