【題目】已知:如圖,在△ABC中,BC=AC,以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D,DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)若⊙O的半徑為5,AB=12,求DE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)DE與⊙O相切,證明見(jiàn)解析;(3)DE=4.8.
【解析】
(1)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得:CD⊥AB,再根據(jù)三線(xiàn)合一即可證出;
(2)連接OD,根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)可得:OD∥AC,再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得OD⊥DE,從而證出DE與⊙O相切;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,由三線(xiàn)合一可知:CD平分∠ACB,BD=AB=6,根據(jù)勾股定理可求出CD,根據(jù)△BDC的面積的兩種求法列方程,即可求出DF,從而求出DE.
解:(1)連接CD
∵BC為⊙O的直徑
∴CD⊥AB
∵BC=AC
∴AD=BD
即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)
(2) DE與⊙O相切 ,理由如下
連接OD
∵AD=BD,OB=OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE與⊙O相切
(3)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,
∵BC=AC,CD⊥AB
∴CD平分∠ACB,BD=AB=6
∴DE=DF
∵⊙O的半徑為5
∴BC=10
根據(jù)勾股定理可得:CD=
∵S△BDC=BD·CD=BC·DF
∴×6×8=×10·DF
解得:DF=4.8
∴DE= DF=4.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a﹣b=1,a2﹣ab+1>0,當(dāng)2≤x≤3時(shí),二次函數(shù)y=a(x﹣1)2+1(a≠0)的最大值是3,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋投了2015次,其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少,則第2016次一定拋擲出5點(diǎn)
B.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)
C.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)明天下雨的概率是,所以明天將有一半時(shí)間在下雨
D.在同一年出生的367名學(xué)生中,至少有兩人的生日是同一天
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年的淘寶雙十一,開(kāi)場(chǎng)11秒后,銷(xiāo)售額突破十億,3分鐘破百億,最終成交額定格在1682億元上,在今年的雙十一前夕,某企業(yè)生產(chǎn)一種必需商品作為雙十一的主打商品,經(jīng)過(guò)之前的長(zhǎng)期市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn),商品的月總產(chǎn)量穩(wěn)定在600件,商品的月銷(xiāo)售量a(件)由固定銷(xiāo)售量與浮動(dòng)銷(xiāo)售量?jī)蓚(gè)部分組成,其中固定銷(xiāo)售量保持不變,浮動(dòng)銷(xiāo)售量與售價(jià)x(元/件)(x≤10)成反比,且得到了如下表格中的信息:
售價(jià)x(元/件) | 5 | 8 |
月銷(xiāo)售量Q(件) | 580 | 400 |
(1)求Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若生產(chǎn)的所有商品正好銷(xiāo)售完,求售價(jià)x;
(3)求售價(jià)x為多少時(shí),月銷(xiāo)售額最大,并求這個(gè)最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】水果店張阿姨以每斤4元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤6元的價(jià)格出售,每天可售出150斤,通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出30斤,為保證每天至少售出360斤,張阿姨決定降價(jià)銷(xiāo)售.
(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷(xiāo)售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷(xiāo)售這種水果要想每天盈利450元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABN中,∠B =90°,點(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B兩點(diǎn)重合),點(diǎn)C是BN延長(zhǎng)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)N重合),且AM=BC,CN=BM,連接CM與AN交于點(diǎn)P.
(1)在圖1中依題意補(bǔ)全圖形;
(2)小偉通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有∠APM=45°.小偉把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過(guò)討論,形成了證明該猜想的一種思路:
要想解決這個(gè)問(wèn)題,首先應(yīng)想辦法移動(dòng)部分等線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形,證明線(xiàn)段相等,再構(gòu)造平行四邊形,證明線(xiàn)段相等,進(jìn)而證明等腰直角三角形,出現(xiàn)45°的角,再通過(guò)平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì),證明∠APM=45°.
他們的一種作法是:過(guò)點(diǎn)M在AB下方作MDAB于點(diǎn)M,并且使MD=CN.通過(guò)證明△AMD△CBM,得到AD=CM,再連接DN,證明四邊形CMDN是平行四邊形,得到DN=CM,進(jìn)而證明△ADN是等腰直角三角形,得到∠DNA=45°.又由四邊形CMDN是平行四邊形,推得∠APM=45°.使問(wèn)題得以解決.
請(qǐng)你參考上面同學(xué)的思路,用另一種方法證明∠APM=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC.若點(diǎn)A,D,E在同一條直線(xiàn)上,∠ACB=20°,則∠ADC的度數(shù)是
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°.
(1)求證:PA+PB=PC;
(2)若BC=,點(diǎn)P是劣弧AB上一動(dòng)點(diǎn)(異于A、B),PA、PB是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+n=0的兩根,求m的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)為,連接,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)直線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使的面積等于的面積的3倍?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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