Question

銳角△ABC，BC上有一點D，CA上有一點E，AB上有一點F，試證：存在唯一一組解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：△ABC的三條高AD₀，BE₀，CF₀，結(jié)論顯然成立．假設(shè)有一D點異于D₀滿足條件，通過△BDF∽△BAC，得

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DF

∥

.

D0F0

，得到∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，同理有

.

DE

∥

.

D0E0

，若D在D₀左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，?

.

EF

與

.

E0F0

相交，故不平行，得到AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．若在右側(cè)亦然，所以假設(shè)不成立．原結(jié)論成立．

解答：解：作△ABC的三條高AD₀，BE₀，CF₀，結(jié)論顯然成立．
假設(shè)有一D點異于D₀滿足條件，
則△BDF∽△BAC，
∴

.

DF

∥

.

D0F0

，
∴∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，
同理

.

DE

∥

.

D0E0

，
于是，若D在D₀左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，?

.

EF

與

.

E0F0

相交，故不平行；
∴∠AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．
若在右側(cè)亦然，
所以假設(shè)不成立．
故D₀，E₀，F(xiàn)₀為唯一一組滿足條件的點．

點評：本題考查了直角三角形相似的判定與性質(zhì)：有一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似．也考查了直線平行的性質(zhì)．