Question

已知直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求：
①拋物線的解析式；（4分）
②點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長(zhǎng)；（4分）
（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點(diǎn)M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4分）

Answer 1

（1）①②N（，－4），（2）存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，－1）或（4，3）

解：（1）①∵直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴A（，0），B（0，－5）。
當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，∴M（，0）。
∴拋物線的解析式是：，即。
②∵N是直線與在拋物線的交點(diǎn)，
∴，解得或。
∴N（，－4）。
如圖，過N作NC⊥x軸，垂足為C。

∵N（，－4），∴C（，0）
∴NC=4．MC=OM－OC=。
∴。
（2）存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，－1）或（4，3）。
（1）①由直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)解析式。
②聯(lián)立和，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，過N作NC⊥x軸，由勾股定理求出線段MN的長(zhǎng)。
（2）存在兩種情況，△OMN與△AOB相似：
情況1，∠OMN=90⁰，過M作MD⊥x軸，垂足為D。

設(shè)M（m，），則OD= m，DM=。
又OA=，OB=5，
則由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。
∴M（2，－1）。
情況2，

∠ONM=90⁰，若△OMN與△AOB相似，則∠OMN=∠OBN。
∴OM=OB=5。
設(shè)M（m，），則解得m=4。
∴M（4，3）。
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，－1）或（4，3）時(shí)，△OMN與△AOB相似。