Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等．

（）求實(shí)數(shù)、的值．

（）如圖，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到．

①是否存在某一時(shí)刻，使得為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②設(shè)與重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①存在，或；②當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，S；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A以及“當(dāng)x=-2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個(gè)條件，列出方程組求出待定系數(shù)的值．
（2）①首先由拋物線解析式能得到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，則線段OA、OB、OC的長(zhǎng)可求，進(jìn)一步能得出AB、BC、AC的長(zhǎng)；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長(zhǎng)，則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長(zhǎng)以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個(gè)直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：
1、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合，由此得到AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出t的值；
2、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長(zhǎng)后可求出t的值；
3、點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，∠DFC是銳角，而點(diǎn)F在射線AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．
②此題需要分三種情況討論：
1、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段AB中點(diǎn)之間時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè)△DEF；
2、當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)O之間時(shí)，重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；
3、當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，重疊部分是個(gè)小直角三角形．

（）由題意得：，解得：，．

（）①由（）知，

∵，

∴，，

∴，，，

∴，，，

∴，

∴為，且，

∵，，，

又∵，

∴，

∴，

∴翻折后，落在處，∴，

∴，，

若為，點(diǎn)在上時(shí)，

i）∴若為直角頂點(diǎn)，則與重合，

∴，，如圖

ii）若為直角頂點(diǎn)，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，如圖

當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，，為鈍角三角形，

綜上所述，或．

②i）當(dāng)時(shí)，重疊部分為，

∴．

ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，則重疊部分為四邊形，如圖，

過點(diǎn)作于，設(shè)，則，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴ ．

iii）當(dāng)時(shí)，重疊部分為，如圖，

∵，，

∴．