Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B開(kāi)始沿折線BC﹣CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E比動(dòng)點(diǎn)F先出發(fā)1秒，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）點(diǎn)F在邊BC上．

①如圖1，連接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；

②如圖2，連結(jié)EF，DF，當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF與△DCF相似？

（2）如圖3，若點(diǎn)G是邊AD的中點(diǎn)，BG，EF相交于點(diǎn)O，試探究：是否存在在某一時(shí)刻t，使得=？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）①如圖1

∵DE⊥AF，

∴∠AOE=90°，

∴∠BAF+∠AEO=90°，

∵∠ADE+∠AEO=90°，

∴∠BAE=∠ADE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（ASA）

∴AE=BF，

∴1+t=2t，

解得t=1．

②如圖2

∵△EBF∽△DCF

∴=，

∵BF=2t，AE=1+t，

∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，

∴=，

解得，t=，t=（舍去），

故t=．

（2）①0＜t≤2時(shí)如圖3，以點(diǎn)B為原點(diǎn)BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，

A的坐標(biāo)（0，4），G的坐標(biāo)（2，4），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)（2t，0），E的坐標(biāo)（0，3﹣t）

EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

設(shè)O的坐標(biāo)為（a，b），

解得

∴O的坐標(biāo)為（，）

把O的坐標(biāo)為（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得，t=（舍去），t=，

②當(dāng)3≥t＞2時(shí)如圖4，以點(diǎn)B為原點(diǎn)BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，

A的坐標(biāo)（0，4），G的坐標(biāo)（2，4），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)（4，2t﹣4），E的坐標(biāo)（0，3﹣t）

EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

設(shè)O的坐標(biāo)為（a，b），

解得

∴O的坐標(biāo)為（，）

把O的坐標(biāo)為（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得：t=．

綜上所述，存在t=或t=，使得=．