Question

已知：如圖，拋物線的圖象與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A，C，點(diǎn)D是劣弧OA上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)與A，O不重合），直線AG切⊙M點(diǎn)A．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求直線AG的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)D為弧AO的中點(diǎn)，CD交AO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CD交AG于點(diǎn)G，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）拋物線y=-x²-
=-（x²+2x+1）+
=-（x+1）²+
∴E的坐標(biāo)為（-1，）；

（2）連AC，延長(zhǎng)AG交y軸于點(diǎn)H；
∵⊙M過A，O，C，且∠AOC=90°，
∴AC為⊙O的直徑．當(dāng)x=0時(shí)，y=
∴OC=
當(dāng)y=0時(shí)，x₁=-3，x₂=1
∴OA=3，由勾股定理得；
∴AC=2
∵AG是⊙M的切線
∴∠CAG=90°
∴△CAH為直角三角形．
∴△AOC∽△HOA
∴
∴OH=3
∴H（0，-3）
設(shè)AG的解析式為：y=kx+b，由題意得
解得：

∴AG的解析式為：．

（3）在Rt△ACO中，OA=3，OC=，
∵tan∠ACO=．
∴∠ACO=60°，∠CAO=30°．
∵點(diǎn)D是 的中點(diǎn)，
∴．
∴∠ACG=∠DCO=30°．
∴OF=OC•tan30°=1，∠CFO=60°．
∴AF=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵AG是⊙M的切線
∴∠CAG=90°
∴∠FAG=60°
∠FAG=∠AFG=60°
∴△AGF為等邊三角形．
∴AG=AF=FG．
∴FG=2．
分析：（1）已知拋物線的解析式，用配方法和公式法求都可以求解；
（2）∵AG是一條直線，利用切線的性質(zhì)和三角形相似求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；
（3）利用弧中點(diǎn)的定義和圓切線的性質(zhì)求出三角形AFG為正三角形，以及通過解直角三角形求出AF的長(zhǎng)而求出FG的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)綜合試題，將拋物線與圓放在同一坐標(biāo)系中研究，因此數(shù)形結(jié)合的解題思想是不可缺少的，本題考查了相似三角形，切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正三角形性質(zhì)的運(yùn)用．