Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）將拋物線沿y軸平移t（t＞0）個單位，當(dāng)平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點時，則t的取值范圍是 ．
（2）拋物線上存在點P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，則點P的坐標為 ．

Answer 1

【答案】
（1）0＜t＜3或t=4
（2）（ ， ）或（﹣5，﹣32）
【解析】解：（1）由題意，拋物線只能沿y軸向下平移， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4﹣t（t＞0），
當(dāng)原點O落在平移后的拋物線上時，把（0，0）代入得：
0=﹣（0﹣1）2+4﹣t，
解得t=3；
當(dāng)平移后的拋物線的頂點落在x軸上時，x=1，y=0
即0=﹣（1﹣1）2+4﹣t，
解得t=4，
∵平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點
∴0＜t＜3或t=4，
故答案為：0＜t＜3或t=4；
⑵當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1或x=3，
即A（﹣1，0）、B（3，0），
取AC的中點M，過M作MN⊥AC交OC于N，連接AN，

則AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC﹣∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴ = ，
∴CN= = = = ，
∴NO=CO﹣CN=3﹣ = ，
∴tan∠NAO= = ；
當(dāng)點P在BC上方時，設(shè)為P1 ， 過B作BD⊥BC交直線CP1于D，過D作DE⊥x軸于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴ = = =tan∠BCP1=tan∠NAO= ，
∴BE= CO=4，DE= BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
設(shè)直線CP1的解析式為y=k1x+3，把（7，4）代入
4=7k1+3，
∴k1= ，
∴y= x+3
令﹣x2+2x+3= x+3，
解得x1=0（舍去），x2=
∴P1（ ， ），
當(dāng)點P在BC下方時，設(shè)為P2（m，n），
則∠BCP2=∠BCP1
延長DB交直線CP2于E，則點B是DE的中點
∴
解得 ，
∴E（﹣1，﹣4）
設(shè)直線CP2的解析式為y=k2x+3，把（﹣1，﹣4）代入﹣4=﹣k2+3，
∴k2=7，
∴y=7x+3
令﹣x2+2x+3=7x+3，
解得x1=0（舍去），x2=﹣5
∴P2（﹣5，﹣32）
綜上所述，拋物線上存在點P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，
P點坐標為（ ， ）或（﹣5，﹣32），
故答案為：（ ， ）或（﹣5，﹣32）．
（1）把函數(shù)化為頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k的形式，向下平移使拋物線與x軸只有一個交點，即把解析式中的k變成0即可．（2）取AC的中點M，過M作MN⊥AC交OC于N，連接AN則AN=CN，∠ACO=∠CAN，通過△MCN∽△OCA，求得CN的值，進而求得NO的值，從而得出tan∠NAO= = ；當(dāng)P在BC的上方時，設(shè)為P1 ， 過B作BD⊥BC交直線CP1于D，過D作DE⊥x軸于E，通過證明△BDE∽△CBO，進而求得tan∠BCP1=tan∠NAO= ，從而確定D點的坐標，把D點代入直線CP1的解析式為y=k1x+3，求得P1點的坐標；當(dāng)點P在BC下方時，設(shè)為P2（m，n），則∠BCP2=∠BCP1 ， 延長DB交直線CP2于E，則點B是DE的中點，求得E點坐標，代入直線CP2的解析式為y=k2x+3，即可求得P2的坐標．