Question

【題目】一個四位數，記千位上和百位上的數字之和為x，十位上和個位上的數字之和為y，如果x=y，那么稱這個四位數為“和平數”． 例如：1423，x=1+4，y=2+3，因為x=y，所以1423是“和平數”．
（1）直接寫出：最小的“和平數”是 ， 最大的“和平數”是；
（2）求個位上的數字是千位上的數字的兩倍且百位上的數字與十位上的數字之和是12的倍數的所有“和平數”；
（3）將一個“和平數”的個位上與十位上的數字交換位置，同時，將百位上與千位上的數字交換位置，稱交換前后的這兩個“和平數”為一組“相關和平數”． 例如：1423與4132為一組“相關和平數”
求證：任意的一組“相關和平數”之和是1111的倍數．

Answer 1

【答案】
（1）1001；9999
（2）解：設這個“和平數”為 ，

則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，

∴2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），

①、當a=2，d=4時，2（c+1）=12k，

可知c+1=6k且a+b=c+d，

∴c=5則b=7，

②、當a=4，d=8時，

2（c+2）=12k，

可知c+2=6k且a+b=c+d，

∴c=4則b=8，

綜上所述，這個數為2754和4848

（3）解：設任意的兩個“相關和平數”為 ， （a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），

則 + =1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），

即兩個“相關和平數”之和是1111的倍數

【解析】解：（1）由題意得，最小的“和平數”1001，最大的“和平數”9999， 故答案為：1001，9999；
（1）根據題意即可得到結論；（2）設這個“和平數”為 ，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、當a=2，d=4時，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7，②、當a=4，d=8時，得到c=4則b=8，于是得到結論；（3）設任意的兩個“相關和平數”為 ， （a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到 + =1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結論．