【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,點E在邊CB的延長線上,且∠EAC=90°AE2=EBEC

1)求證:四邊形ABCD是矩形;

2)延長DB、AE交于點F,若AF=AC,求證:AE=BF

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

1)根據(jù)AE2=EBEC證明△AEB∽△CEA,即可得到∠EBA=EAC=90°,從而說明平行四邊形ABCD是矩形;

2)根據(jù)(1)中△AEB∽△CEA可得,再證明△EBF∽△BAF可得,結(jié)合條件AF=AC,即可證AE=BF

證明:(1)∵AE2=EBEC

又∵∠AEB=CEA

∴△AEB∽△CEA

∴∠EBA=EAC

而∠EAC=90°

∴∠EBA=EAC=90°

又∵∠EBA+CBA=180°

∴∠CBA=90°

而四邊形ABCD是平行四邊形

∴四邊形ABCD是矩形

即得證.

2)∵△AEB∽△CEA

,∠EAB=ECA

∵四邊形ABCD是矩形

OB=OC

∴∠OBC=ECA

∴∠EBF=OBC=ECA=EAB

即∠EBF=EAB

又∵∠F=F

∴△EBF∽△BAF

AF=AC

BF=AE

AE=BF得證.

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