Question

如圖，A，D是公園中人工湖邊的兩棵樹，AB，BC，CD是公園內(nèi)的甬路．小明同學(xué)想測出A，D兩點(diǎn)間的距離．于是他進(jìn)行了如下測量：B點(diǎn)在A點(diǎn)北偏東α方向，C點(diǎn)在B點(diǎn)北偏東β方向，C點(diǎn)在D點(diǎn)正東方向．你認(rèn)為他還需要測出AB，BC，CD中哪些線段的長？并根據(jù)小明的測量和你的判斷推導(dǎo)出AD的表達(dá)式．

Answer 1

解：可以只測量AB，BC的長度．
過B點(diǎn)作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．
由題意知，AD⊥CD，∴四邊形BFDE為矩形．
∴BF=DE．
在Rt△ABE中，AE=AB•cosα；
在Rt△BCF中，BF=BC•cosβ
∴AD=AE+DE=AE+BF=AB•cosα+BC•cosβ 注：若測量AB，CD的長度．
則AD=AB•cosα+（CD-AB•sinα）•cotβ
若測量BC，CD的長度．
則AD=BC•cosβ+（CD-BC•sinβ）•cotα．
分析：過點(diǎn)B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分別為E、F，已知AD=AE+ED，則分別求得AE、DE的長即可求得AD的長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．