【題目】如圖,矩形AEFG的頂點(diǎn)E,G分別在正方形ABCD的AB,AD邊上,連接B,交EF于點(diǎn)M,交FG于點(diǎn)N,設(shè)AE=a,AG=b,AB=c(b<a<c).

(1)求證: = ;
(2)求△AMN的面積(用a,b,c的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)∠MAN=45°時(shí),求證:c2=2ab.

【答案】
(1)證明:過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)M作MI⊥AD于點(diǎn)I,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADB=∠ABD=45°,

∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形,四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形,

∴BN= NH= AG= b,DM= MI= AE= a,

=


(2)解:SAMN=SABD﹣SABM﹣SADN

= ABAD﹣ ABME﹣ ADNG

= c2 c(c﹣a)﹣ c(c﹣b)

= c(c﹣c+a﹣c+b)

= c(a+b﹣c)


(3)解:∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°,∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°,

∴∠DMA=∠BAN,

∵∠ABD=∠ADB=45°,

∴△ADM∽△NBA,

=

∵DM= a,BN= b,

∴c2=2ab.


【解析】(1)作NH⊥AB垂足為H,作MI⊥AD垂足為I,依據(jù)題意可得到△NHB和△DIM是等腰直角三角形,四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形,則可求得BN=b,DM=a,最后,代入計(jì)算即可;
(2)依據(jù)圖形可知S△AMN=S△ABD-S△ABM-S△ADN,故此可得到S△AMN=c2-c(c-a)-c(c-b),最后進(jìn)行整理即可;
(3)首先證明∠DMA=∠BAN,然后再由∠ABD=∠ADB=45°可得到△ADM∽△NBA,最后,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,0).點(diǎn)P第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P1(1,1),緊接著第2次向左跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)P2(-1,1),第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P3,第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)P4,第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P5,第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)P6,…….照此規(guī)律,點(diǎn)P第100次跳動(dòng)至點(diǎn)P100的坐標(biāo)是( )

A. (-26,50) B. (-25,50) C. (26,50) D. (25,50)

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我們知道方程有無數(shù)個(gè)解,但在實(shí)際生活中我們往往只需求出其

正整數(shù)解.

例:由,得:,(x、y為正整數(shù))

,則有.又為正整數(shù),則為正整數(shù).由2與3互質(zhì),可知:x為3的倍數(shù),從而x=3,代入∴2x+3y=12的正整數(shù)解為

問題:

(1)請(qǐng)你寫出方程的一組正整數(shù)解:      .

(2)若為自然數(shù),則滿足條件的x值為      .

(3)七年級(jí)某班為了獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生,購(gòu)買了單價(jià)為3元的筆記本與單價(jià)為5元的鋼筆兩種獎(jiǎng)品,共花費(fèi)35元,問有幾種購(gòu)買方案?

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A.
B.
C.
D.

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(2)代數(shù)式為完全平方式,則k= ______ ;

(3)解方程:=6x2+7.

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(2)若點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y的圖象上,當(dāng)-3≤x≤-1時(shí),求函數(shù)值y的取值范圍.

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