Question

【題目】如圖1，拋物線L：y=ax2+2（a﹣1）x﹣4（常數(shù)a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（0，﹣4），與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，交L于點(diǎn)C，以O(shè)B，BC為邊作矩形OBCD．

（1）當(dāng)x=2時(shí)，L取得最低點(diǎn)，求L的解析式．
（2）用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)S矩形OBCD=4時(shí)，求a的值．
（4）如圖2，作射線AB，OC，當(dāng)AB∥OC時(shí)，將矩形OBCD從點(diǎn)O沿射線OC方向平移，平移后對(duì)應(yīng)的矩形記作O′B′C′D′，直接寫出點(diǎn)A到直線BD′的最大距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線L的對(duì)稱軸是x=﹣ ，∴x= ﹣1，

∵當(dāng)x=2時(shí)，L取得最低點(diǎn)，則 ﹣1=2，

∴a= ，

∴L的解析式為：y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：∵在L上，且BC⊥y軸，B（0，﹣4），

∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，

﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ﹣2，﹣4），

∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于L的對(duì)稱軸x= ﹣1對(duì)稱，A（﹣2，0），

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（n，0）（其中n＞0），

∴ ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（ ，0）

（3）

解：∵S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，

∴| ﹣2|=1，

當(dāng)矩形OBCD在y軸右側(cè)時(shí)，0＜a＜1，有 ﹣2=1，解得a= ；

當(dāng)矩形OBCD在y軸左側(cè)時(shí)，a＞1，有 ﹣2=﹣1，解得a=2

（4）

解：由圖象可知，當(dāng)AB⊥BD′時(shí)，點(diǎn)A到直線BD′的距離最大，最大距離為AB= = =2 ．

【解析】（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程即可解決問(wèn)題．（2）由BC⊥y軸，B（0，﹣4），設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，得﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于L的對(duì)稱軸x= ﹣1對(duì)稱，A（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（n，0）（其中n＞0），可得 ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，由此即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)．（3）由題意S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，可得| ﹣2|=1，分兩種情形①當(dāng)矩形OBCD在y軸右側(cè)時(shí)．②當(dāng)矩形OBCD在y軸左側(cè)時(shí)．分別求解即可．（4）由圖象可知，當(dāng)AB⊥BD′時(shí)，點(diǎn)A到直線BD′的距離最大．