Question

已知，如圖(a)，拋物線經(jīng)過點A(x₁，0)，B(x₂，0)，C(0，－2)，其頂點為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點E、F，過點E作⊙M的切線交x軸于點N�！螼NE=30°，。

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖（b）,點Q為上的動點（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點H，問：AH·AQ是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

解：（1）圓的半徑，
連接EM，

∵NE是⊙M的切線，∴ME⊥NE。
在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，
∴∠EMN=60°，MN=8�！郞M=2。
∴OA=2，OB=6。
∴點A、B的坐標(biāo)分別為（―2，0），（6，0）。
∵拋物線經(jīng)過點A、B兩點，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
又∵拋物線經(jīng)過點C(0，－2)，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為，即。
∵，∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為（2，）。
（2）如圖，由拋物線的對稱性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。

若在拋物線對稱性的右側(cè)圖象上存在點P，使△ABP與△ADB相似，
必須有∠BAP=∠BPA=∠BPD。
設(shè)AP交拋物線的對稱軸于D′點，則D′（2，）。
∴直線AP的解析式為 。
由解得：
（舍去）。
∴P（10，8）。
過P作PG⊥x軸于點G，
在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∴由勾股定理，得PB=。
∵PA=8，∴PA≠PB�！唷螧AP≠∠BPA。
∴△ABP與△ADB不相似。
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點。
∴在該拋物線上不存在點P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）連接AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂徑定理易知：，
∴∠AQF=∠AFH。
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH。
∴，∴。
在Rt△AOF中，
，
∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ為定值

試題分析：（1）由切線的性質(zhì)和含30度角直角三角形的性質(zhì)，求出點A、B的坐標(biāo)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，化為頂點式即可得到拋物線的頂點D的坐標(biāo)。
（2）應(yīng)用反證法分拋物線對稱性的右側(cè)和拋物線對稱性的左側(cè)兩種情況說明在該拋物線上不存在點P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）由垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，可得，在Rt△AOF中，應(yīng)用勾股定理可得，從而得出AH·AQ為定值的結(jié)論。