Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線y=x交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線上，∠BOA=90°．拋物線過點(diǎn)A，O，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線y=x與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C，直線BC交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作FE∥x軸，交直線AB于點(diǎn)F，連接OD，CF，CF交x軸于點(diǎn)M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由直線與直線y=x交于點(diǎn)A，得
，解得，。
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，3）。
∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA。
∴直線OB的解析式為y=﹣x。
又∵點(diǎn)B在直線上，∴，解得，。
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，1）。
綜上所述，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，3），（﹣1，1）。
（2）由（1）知，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，3），（﹣1，1），
∵拋物線過點(diǎn)A，O，B，
∴，解得，。
∴該拋物線的解析式為。
∵，∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，）。
（3）OD與CF平行。理由如下：
由（2）知，拋物線的對稱軸是x=。
∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C，∴C（，）。
設(shè)直線BC的表達(dá)式為，把B（﹣1，1），C（，）代入，得
，解得，。
∴直線BC的解析式為。
∵直線BC與拋物線交于點(diǎn)B、D，∴，解得，x₁=，x₂=﹣1．。
把x₁=代入，得y₁=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）。
如圖，作DN⊥x軸于點(diǎn)N，

則
∵FE∥x軸，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是。
把y=代入，得x=，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（，），
∴EF=。
∵CE=，∴。
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x軸，∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF，即OD與CF平行。

試題分析：（1）由直線與直線y=x交于點(diǎn)A，列出方程組，通過解該方程組即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；根據(jù)∠BOA=90°得到直線OB的解析式為y=﹣x，則，通過解該方程組來求點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。
（2）把點(diǎn)A、B、O的坐標(biāo)分別代入已知二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的方程組，通過解方程組即可求得該拋物線的解析式。
（3）如圖，作DN⊥x軸于點(diǎn)N，欲證明OD與CF平行，只需證明同位角∠CMN與∠DON相等即可。