Question

如圖所示，已知拋物線的圖象與軸相交于點，點在該拋物線圖象上，且以為直徑的⊙恰好經過頂點.

（1）求的值;

（2）求點的坐標；

（3）若點的縱坐標為，且點在該拋物線的對稱軸上運動，試探索：

①當時，求的取值范圍（其中：為△的面積，為△的面積，為四邊

形OACB的面積）；

②當取何值時，點在⊙上.（寫出的值即可）

Answer 1

解：（1）∵點B（0，1）在的圖象上，∴

∴k=1

（2）由（1）知拋物線為：

∴頂點A為（2，0）   …………（4分）

∴OA=2，OB=1

過C（m，n）作CD⊥x軸于D，則CD=n，OD=m，∴AD=m-2

由已知得∠BAC=90°

∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD

∴Rt△OAB∽Rt△DCA                                

∴(或tan∠OBA= tan∠CAD )

 ∴n=2(m-2)；

又點C（m,n）在上，∴

∴，即

∴m=2或m=10；當m=2時，n=0, 當m=10時，n=16；

∴符合條件的點C的坐標為（2，0）或（10，16）…（8分）

（3）①依題意得，點C（2，0）不符合條件，∴點C為（10，16）

此時

又點P在函數圖象的對稱軸x=2上，∴P（2,t），AP=     

∴=      

∵

∴當t≥0時，S=t，∴1﹤t﹤21.

∴當t﹤0時，S=-t，∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范圍是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1   ②t=0，1，17.