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如圖,等邊△ABC的邊長為2,E是邊BC上的動點,EF∥AC交邊AB于點F,在邊AC上取一點P,使PE=EB,連接FP.
(1)請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段;(不再另外添加輔助線)
(2)探究:當點E在什么位置時,四邊形EFPC是平行四邊形?并判斷四邊形EFPC是什么特殊的平行四邊形,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,以點E為圓心,r為半徑作圓,根據(jù)⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點的總個數(shù),求相應(yīng)的r的取值范圍.

【答案】分析:(1)由平行易得△BFE是等邊三角形,那么各邊是相等的;
(2)當點E是BC的中點時,△PEC為等邊三角形,可得到PC=EC=BE=EF,也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形,再有EF=EC可證為菱形;
(3)根據(jù)各點到圓心的距離作答即可.
解答:解:(1)如圖,∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°.
又∵EF∥AC,
∴∠BFE=∠A=60°,∠BEF=∠C=60°,
∴△BFE是等邊三角形,PE=EB,
∴EF=BE=PE=BF;

(2)當點E是BC的中點時,四邊形是菱形;
∵E是BC的中點,
∴EC=BE,
∵PE=BE,
∴PE=EC,
∵∠C=60°,
∴△PEC是等邊三角形,
∴PC=EC=PE,
∵EF=BE,
∴EF=PC,
又∵EF∥CP,
∴四邊形EFPC是平行四邊形,
∵EC=PC=EF,
∴平行四邊形EFPC是菱形;

(3)如圖所示:
當點E是BC的中點時,EC=1,則NE=ECcos30°=,
當0<r<時,有兩個交點;
當r=時,有四個交點;
<r<1時,有六個交點;
當r=1時,有三個交點;
當r>1時,有0個交點.
點評:本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,菱形的判定及點和圓的位置關(guān)系等知識點.注意圓和線段有交點,應(yīng)根據(jù)半徑作答.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,等邊△ABC的邊長為l,取邊AC的中點D,在外部畫出一個新的等邊三角形△CDE,如此繞點C順時針繼續(xù)下去,直到所畫等邊三角形的一邊與△ABC的BC邊重疊為止,此時這個三角形的邊長為
 

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10、如圖,等邊△ABC的三條角平分線相交于點O,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于點E,那么這個圖形中的等腰三角形共有( �。�

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(2)請證明△GFH的面積為定值;
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(1)求AD的長;
(2)取AB的中點E,連接DE,寫出圖中所有與BD相等的線段.(不要求說理)

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如圖,等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點,將△ADE沿直線DE折疊,點A落在點A′處,且點A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長為( �。�

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同步練習冊答案
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