【題目】已知過(guò)原點(diǎn)O的兩直線與圓心為M(0,4),半徑為2的圓相切,切點(diǎn)分別為P、Q,PQ交y軸于點(diǎn)K,拋物線經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn),頂點(diǎn)為N(0,6),且與x軸交于A、B兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)求拋物線解析式;

(3)在直線y=nx+m中,當(dāng)n=0,m≠0時(shí),y=m是平行于x軸的直線,設(shè)直線y=m與拋物線相交于點(diǎn)C、D,當(dāng)該直線與M相切時(shí),求點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,3).

(2)拋物線的解析式為y=x2+6

(3)點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2或6

【解析】

試題(1)由切線的性質(zhì)可得MPO=90°,由勾股定理可求出PO,由三角形PMO的面積利用面積法可求出PK,然后再運(yùn)用勾股定理可求出OK,就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)可設(shè)頂點(diǎn)為(0,6)的拋物線的解析式為y=ax2+6,然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式.

(3)直線y=m與M相切有兩種可能,只需對(duì)這兩種情況分別討論就可求出對(duì)應(yīng)多邊形的面積.

試題解析:(1)如圖1,

∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P,

MPOP,即MPO=90°

點(diǎn)M(0,4)即OM=4,MP=2,

OP=2

∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P,M與OQ相切于點(diǎn)Q,

OQ=OP,POK=QOK.

OKPQ,QK=PK.

PK=

OK==3.

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,3).

(2)如圖2,

設(shè)頂點(diǎn)為(0,6)的拋物線的解析式為y=ax2+6,

點(diǎn)P(,3)在拋物線y=ax2+6上,

3a+6=3.

解得:a=1.

則該拋物線的解析式為y=x2+6.

(3)當(dāng)直線y=m與M相切時(shí),

則有=2.

解得;m1=2,m2=6.

m=2時(shí),如圖3,

則有OH=2.

當(dāng)y=2時(shí),解方程x2+6=2得:x=±2,

則點(diǎn)C(2,2),D(2,2),CD=4.

同理可得:AB=2

則S梯形ABCD=(DC+AB)OH=×(4+2×2=4+2

m=6時(shí),如圖4,

此時(shí)點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)N重合.

SABC=ABOC=×2×6=6

綜上所述:點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2或6

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